Opzioni: introduzione agli alberi binomiali

Introduzione

Una tecnica molto diffusa per quel che riguarda la valutazione delle opzioni su azioni comporta la costruzione di un cosiddetto “albero binomiale” (in inglese definito come binomial tree). Si tratta sostanzialmente di un diagramma che rappresenta i diversi sentieri che potrebbero essere seguiti dal prezzo dell’azione durante la vita dell’opzione. L’approccio generale che si può seguire è simile a quello di un importante lavoro di Cox, Ross e Rubinstein del 1979.

Il modello binomiale a uno stadio

Per esaminare questo modello, si può considerare una situazione molto semplice. Ad esempio, il prezzo di un’azione può essere fissato a 20 dollari e si sa che tra tre mesi sarà pari a 22 o 18 dollari: questa opzione avrà uno dei due seguenti valori alla fine del trimestre. Se il prezzo dell’azione dovesse essere pari a 22 dollari, allora il valore finale della call sarà di 1, mentre se il prezzo dell’azione sarà pari a 18 dollari, il valore finale dell’opzione call sarà nullo. È possibile utilizzare un’argomentazione relativamente semplice per valutare l’opzione stessa: l’unica assunzione è che non esistano opportunità di arbitraggio. È sufficiente costruire un portafoglio di azioni e opzioni in modo che non ci sia incertezza circa il valore che avrà dopo tre mesi; quindi si potrà sostenere che, dato che il portafoglio non è in alcun modo rischioso, il suo tasso di rendimento deve essere pari al tasso di interesse privo di rischio. Tutto questo ci consente di determinare il costo iniziale del portafoglio e quindi il prezzo dell’opzione: dato che ci sono due titoli (l’azione e l’opzione) e solo due possibili risultati, è sempre possibile trovare un portafoglio privo di rischio.

Irrilevanza del rendimento atteso dell’azione

Nel valutare l’opzione non devono essere considerate le probabilità associate al rialzo e al ribasso del prezzo dell’azione. Ad esempio, si ottiene lo stesso prezzo per un’opzione europea quando la probabilità di rialzo è di 0,5 o di 0,9. Questo risultato è sorprendente e sembra contro intuitivo. È infatti naturale assumere che, all’aumentare delle probabilità di rialzo del prezzo dell’azione, il valore di una call scritta sull’azione aumenti e il valore di una put diminuisca. Non è invece così. Il motivo chiave è che non stiamo valutando l’opzione in termini assoluti, ma in relazione al prezzo dell’azione sottostante. Le probabilità dei futuri movimenti al rialzo e al ribasso sono già incorporate nel prezzo dell’azione: ne segue che non abbiamo bisogno di tenerne conto quando andiamo a valutare l’opzione in termini del prezzo dell’azione.

Gli alberi binomiali a due stadi

Possiamo ora passare a estendere l’analisi al caso di un albero binomiale a due stadi. In questo caso, diversamente da quanto visto finora, il prezzo del titolo parte da 20 dollari e in ciascuno dei due intervalli può scendere o salire  del 10%. Supponiamo che ogni intervallo sia di tre mesi e che il tasso privo di rischio sia del 12%; se aggiungiamo altri stadi all’albero binomiale, il principio di valutazione neutrale verso il rischio continua a valere. Il prezzo dell’opzione è sempre uguale al suo valore atteso in un mondo neutrale verso il rischio, attualizzato al tasso di interesse privo di rischio.

Gli alberi binomiali nella pratica

I modelli che sono stati presentati sono comunque irrealisticamente semplici. È chiaro che dobbiamo aspettarci solo dei valori molto approssimativi dei prezzi delle opzioni se assumiamo che i movimenti dei prezzi delle azioni durante la vita dell’opzione siano descritti da uno o due stadi binomiali. In pratica, quando si utilizzano gli alberi binomiali, la vita dell’opzione viene divisa in trenta o più intervalli: ogni intervallo contiene un movimento binomiale del prezzo dell’azione. Pertanto, con ben trenta intervalli, i prezzi finali del titolo sono 31 e i possibili sentieri temporali sono circa un miliardo.

Riepilogo

Se i movimenti dei prezzi azionari durante la vita di un’opzione sono governati da un albero binomiale ad uno stadio, è possibile costruire un portafoglio privo di rischio composto da azioni e opzioni. In un mondo in cui non esistono opportunità di arbitraggio, il tasso di rendimento dei portafogli non rischiosi deve essere pari al tasso di interesse privo di rischio. È interessante notare che non occorre fare assunzioni circa le probabilità di rialzo e di ribasso dell’azione in ciascuno dei nodi dell’albero. Quando invece i movimenti dei prezzi azionari sono governati da un albero binomiale a più stadi, possiamo trattare in modo separato ogni singolo stadio e tornare indietro dalla fine all’inizio della vita dell’opzione per ottenere il suo valore corrente. Anche in questo caso si utilizzano solamente argomentazioni di arbitraggio e non sono necessarie assunzioni circa le probabilità di rialzo e di ribasso dell’azione in ciascuno dei nodi. Un altro approccio per valutare le opzioni è infine dato dalla cosiddetta valutazione neutrale verso il rischio: si tratta di un principio molto importante secondo cui è possibile assumere che il mondo sia neutrale verso il rischio quando si valutano le opzioni in termini dell’attività sottostante.

SIMONE RICCI